Inspirace ze základů matematiky

Každé číslo je nekonečné; není rozdílu. AL I:4

ÚVOD
Ke skutečnostem, o nichž budu v tomto příspěvku pojednávat, mne přivedla kamarádka Helena K., studentka informatiky se zájmem o teoretickou matematiku, která nikdy nevěřila na magii a podobné nesmysly a vždy ji překvapovalo, že se takovými věcmi vůbec zabývám. Když jsme jednoho příjemného večera seděli v Blues baru na Traubově ulici, řekla mi, že čím hlouběji se zabývá fundamenty matematiky, tím víc cítí, že za tímto světem se skrývá Něco, co nějakým způsobem souvisí s matematickým pojmem prázdné množiny. Načež mi objasnila, jakým způsobem současná matematika definuje přirozená čísla. Bylo to velice zajímavé a tak jsem si od ní vypůjčil skripta o tomto pojednávající a důkladněji se nad nimi zahloubal. Tu část, která je pro nás obzvláště zajímavá, jsem se pokusil převyprávět tak, aby byla i pro matematické laiky v maximální míře srozumitelná. Zda se mi to povedlo, posuďte sami…

TEORIE MNOŽIN A DEFINICE PŘIROZENÝCH ČÍSEL
Konstrukce přirozených čísel v matematice vychází z teorie množin, kterou vybudoval německý matematik Georg Cantor kolem roku 1872. Pojem množiny se stal základním pojmem matematiky. Požadujeme jen, aby každá množina byla určena svými prvky, takže si ji můžeme představovat jako souhrn prvků (toto není přesná definice, ale to není předmětem tohoto příspěvku). Základní a vlastně jedinou vlastností množin je, že mají prvky, přičemž tyto prvky jsou rovněž množinami. Přitom vůbec neříkáme, co to množina je, zajímáme se jen o to, zda jedna množina je prvkem druhé množiny.
Vlastnost být prvkem je tedy vztahem mezi dvěma množinami, tak jako vlastnost být příbuzný je vztahem mezi lidmi. Prvek je tedy pomocný pojem, který nemá smysl sám o sobě, ale pouze jako označení vztahu (tedy ve spojení být prvkem). Ve skutečnosti v teorii množin nemáme jiné objekty, než množiny.
Fakt, že množina je určena svými prvky, je vyjádřen axiomem extensionality: Dvě množiny mají tytéž prvky právě tehdy, když jsou si rovny (platí obousměrně).
Existuje množina, která se vyznačuje tím, že nemá žádné prvky. Nazývá se prázdná a označuje se -0- (přeškrtnutou nulou; de, aby nevznikly zmatky se zobrazením, budu používat znak -0-). Mluvíme o axiomu prázdné množiny.
Jestliže libovolný prvek množiny A je prvkem množiny B, pak je množina A podmnožinou množiny B. Pro libovolnou množinu platí, že že -0- (prázdná množina) je její podmnožinou.
Stejně jako pojem prvek, nemá ani pojem podmnožina sám o sobě smysl /každá množina je jak prvkem, tak podmnožinou jiné množiny); smysl má jen vztah být podmnožinou. Podmnožiny a prvky nelze zaměňovat. Pokud si množiny představujeme v hmotné podobě, lze velmi těžko vysvětlit podstatný rozdíl mezi prvkem a a podmnožinou {a} množiny A. Je třeba se držet důsledné definice podmnožiny. Například prázdná množina nemůže být prvkem prázdné množiny (vyznačuje se tím, že nemá prvky), ale platí, že prázdná množina je podmnožinou prázdné množiny (prázdná množina je podmnožinou pro libovolnou množinu, tedy i pro sebe sama). První tvrzení tedy vyplývá z definice prázdné množiny, druhé z definice pojmu býti podmnožinou. Vskutku každý prvkem množiny -0- je prvkem množiny -0-…
Z množin lze tvořit nové množiny sjednocením, průnikem a rozdílem původních množin (detaily zde pomíjím).
Máme-li množiny A, B, můžeme vytvořit novou množinu {A,B}, která má za prvky právě A a B. Tento způsob tvorby množin se nazývá axiom dvojice.
Pomocí axiomu dvojice můžeme z prázdné množiny -0- vytvořit nové množiny, např. {-0-}, {{-0-}}, {-0-,{-0-}}, atd. Tímto způsobem můžeme definovat přirozená čísla:
0 = -0-
1 = {-0-, -0-} = {-0-}
2 = {-0-, {-0-}}
3 = {-0-, {-0-}, {-0-, {-0-}}}
atd.
Vždy n = n={0, 1, . . ., n-1}
Tedy přirozená čísla jsou množiny. Rovněž můžeme vytvořit množinu všech nezáporných celých čísel, nazýváme to axiomem nekonečna.
Další výklad pomíjím, zájemci jej najdou v literatuře a těm, kdo se základy matematiky hlouběji zabývat nehodlají, je pro vytvoření základní představy o konstrukci přirozených čísel tento zjednodušený výklad dostačující.
(podle skript: Jiří Rosický, Josef Niederle: Základy matematiky, 2001)

ZÁVĚR
Nyní se pokusím formulovat důsledky řečeného trochu jiným jazykem, abychom lépe získali výsledný obrázek a lépe našli souvislosti s předmětem našeho zájmu.

Tedy:
Každé číslo je výslednicí všech předchozích čísel počínaje nulou. Struktura každého čísla v sobě obsahuje struktury všech předcházejících čísel. Každé číslo je tedy jedinečnou strukturou množin a podmnožin, jejichž základem je ale vždy prázdná množina, tedy nula, Nic, Ajn. Každé číslo je tedy unikátní strukturou forem bez obsahu. Z toho také plyne, že každé číslo je, co se do své struktury týče, jedinečné. Co se obsahu týče, je jeho základem prázdnota, nula, tedy nekonečno; co se vnitřní podstaty týče, není rozdílu (AL I:4).

Strukturu čísla lze tedy znázornit také takto (vezměme třeba číslo 10):


0123456789
012345678
01234567
0123456
012345
01234
0123
012
01
0

Reklamy

komentáře 3

Filed under Magie-mystika-víra

3 responses to “Inspirace ze základů matematiky

  1. ulen

    Proč by mělo být každé číslo nekonečné? V ZF i GB teorii množin je axiom nekonečna, který de facto postuluje aktuální nekonečno. Nekonečná je pak každá množina s kardinalitou přirozených čísel (spočetné nekonečno) a vyšší (nespočetné). Množina {a,b} je dvouprvková, nikoli nekonečně prvková! To, že přirozená čísla se dají zkonstruovat (potenciálně!) pomocí prázdné množiny neznamená, že všechny množiny, které teorie množin zná se skládají v posledku z prázdné množiny – byl potřeba jen postavit základní kámen, to ale neznamená, že by nemohl existovat i jiný. Cantorova definice přir. čísel samozřejmě není jediná (srov. např. s Fregovou), podobně jako reálná čísla lze definovat různě.

  2. 2 ulen:Díky za komentář. Nejsem matematik, ale tato definice mi připadla velmi zajímavá, tak jsem se jí pokusil porozumět a dát do souvislosti s tím, čím se zabývám, tedy s kabalou a magií. Snad tento text tak i vyznívá, koneckonců jsem jej nazval „inspirací“. Vlastně je text mého příspěvku pokusem přiblížit tuto definici přirozených čísel nematematikům a přidat k ní pár asociací z oblasti kabaly a magie. Větší ambice nemám.Ta citace („Každé číslo je nekonečné“) je z Knihy zákona (iniciační text zprostředkovaný Aleistrem Crowleyem v roce 1904):http://things.magick.cz/magick/index.php?co=al

  3. ulen

    Aha, tak to promiň. Jen jsem nepochopil, v jakém smyslu je každé číslo nekonečné (kromě toho, že základem je prázdná množina, tj. prázdnota, která se jakoby zdá nekonečná…). Možná by tě ještě zajímalo, že teorie množin rozeznává různá nekonečna, která jsou hierarchizovaná (např. nekonečno přirozených čísel je menší, než nekonečno reálných čísel, ale stejné, jako nekonečno racionálních čísel). Přeju hodně zdaru ve tvém úsilí, já se ubírám jinudy, toť vše.